N°116

L’approche cartographique de la décomposition des matrices de flux

Introduction

La cartographie des matrices de flux est généralement le résultat de l’application de méthodes de traitement de données qui visent d’abord à réduire la complexité graphique de la figure, l’effet spaghetti (Bahoken, 2015). Le résultat peut néanmoins s’avérer insuffisant pour décrire les motifs des flux représentés. En effet, la clarté et la lisibilité d’une carte de flux ne présagent en rien de son pouvoir descriptif ou explicatif. Cette inefficacité ou incapacité caractéristique de certaines cartes de flux de transmettre correctement le message représenté se traduit, sur le plan graphique, par une figure à l’aspect compact.

La compacité d’une carte de flux s’oppose à sa finesse, appréciée sur un plan qualitatif. Elle traduit le mélange d’informations de natures différentes sur la même figure, que nous définissons comme un effet d’amalgame. Pour y remédier, différents auteurs ont focalisé l’attention sur l’exploitation des valeurs numériques de la matrice, notamment par la modélisation, en amont de l’étape de représentation cartographique.

Si plusieurs approches peuvent être mises en œuvre pour préparer l’information de flux à cartographier, toutes conduisent à la transformation des valeurs observées en de nouvelles quantités. Les flux observés sont, par exemple, transformés en probabilités d’émissions depuis certains lieux d’origine, en volumes de flux échangés entre des lieux; reçus par les lieux ou encore en relations préférentielles (Bahoken, 2016). Quelle que soit la méthode mise en œuvre pour générer ces valeurs de flux, il est important de noter que l’étape de cartographie en est indépendante (encart 1).

En effet, nous pouvons démontrer que le processus de construction cartographique de flux est invariable, quel que soit le type de matrice: le figuré mobilisé est généralement un lien, éventuellement valué et orienté. À l’inverse, la sémiologie cartographique du flux dépend de la nature de l’information (ce lien est parfois orienté et parfois non), autrement dit du type de matrice de flux sous-jacente. Or, les méthodes mobilisées pour cartographier des flux sont généralement mises en œuvre indépendamment du type de matrice dont il est question, l’analyse étant en fait surtout focalisée, d’une part, sur la modélisation des données numériques (c’est-à-dire sur la façon de calculer la valeur du flux) et, d’autre part, sur la représentation de ce flux (par des flèches ou non) indépendamment de leur type. Cette pratique de la cartographie de flux qui consiste à dissocier le mode de représentation du type de tableau n’est pourtant pas sans conséquence sur le résultat obtenu.

Dans certains cas, l’inadéquation de la méthode de cartographie au type de matrice concerné conduit à la réalisation de cartes erronées, et cela pour les mêmes raisons que la cartographie de données de dénombrement (de stocks ou d’effectifs), sous une forme discrétisée en aplats de valeurs, conduit à des cartes erronées. Dans le cas spécifique des flux, il s’agit, par exemple, de la cartographie d’un volume bilatéral de flux à l’aide de figurés orientés (des flèches), ce qui n’est pas exact comme nous le montrerons.

Pour y remédier, nous proposons une typologie simple issue d’une formalisation de l’approche usuelle de cartographie de flux. Cette approche trouve ses fondements dans les travaux de W. R. Tobler et de J. Bertin. Son intérêt est de simplifier le processus et d’apporter une solution à l’effet d’amalgame en représentant de manière décomposée l’information disponible dans la matrice de flux. En revanche, l’approche ne s’intéresse pas à l’effet spaghetti, les données étant supposées avoir été présélectionnées en amont.

Fondements de la pratique classique de cartographie de flux

La réalisation d’une carte de flux statistique, dans une optique descriptive ou explicative, est généralement précédée d’une étape de préparation des données numériques suivie d’une étape de représentation des données.

La première étape est issue des travaux réalisés par des démographes tels que D. Courgeau dès les années 1970, elle a ensuite fait l’objet d’une appropriation par plusieurs géographes parmi lesquels W. R. Tobler, qui s’y intéresse vers la fin des années 1970. Très populaire, elle a donné lieu à la production d’une multitude d’indicateurs que nous ne pouvons présenter ici. Les propositions pouvant être redondantes ou contradictoires (les auteurs n’étant pas toujours d’accord entre eux et certains indices conduisant au même résultat présentent des dénominations variées), nous faisons le choix d’assumer la position de W. R. Tobler (1979, 1982). La seconde étape correspond à la représentation des données numériques de manière à assurer l’efficacité de la figure. Elle a été initiée dès la fin du XIXe siècle par les travaux d’ingénieurs français, mais n’a toutefois été formalisée qu’à la fin des années 1960 par J. Bertin (1967).

Nous présentons ces deux auteurs dans une première section, car leurs travaux constituent le fondement théorique de la pratique à l’origine de la typologie des méthodes que nous proposons.

Les références : J. Bertin et W. R. Tobler

J. Bertin et W. R. Tobler, tous deux férus de cartographie, ont fortement contribué à la réflexion méthodologique sur une pratique de cartographie statistique de flux, même si l’essentiel des travaux du premier n’est pas relatif aux flux.

J. Bertin (1967) formalisa l’ensemble de ses recherches dans un unique ouvrage de sémiologie graphique qui sera plusieurs fois édité et complété. Son chapitre 8 porte précisément sur la représentation de ce qu’il nomme le mouvement. W. R. Tobler (1968, 1969) en proposa d’ailleurs une analyse critique. Tout en reconnaissant les apports indéniables de l’auteur au point de considérer son œuvre comme une référence, il regrette l’absence de références bibliographiques, le nombre limité des traitements aux quatre opérations mathématiques de base et la brièveté des démonstrations de l’ouvrage. Il faut dire que nombre de notes et manuscrits de J. Bertin sont non publiés et n’ont pas encore fait l’objet d’une mise en ligne ou d’une compilation, à l’instar de ceux de W. Tobler qui sont pour l’essentiel disponibles en ligne. Les travaux de J. Bertin sont toutefois accessibles sur le site internet de la Bibliothèque nationale de France [1], depuis son décès en 2010 et sur celui de l’Atelier [2] de cartographie de Sciences Po. L’auteur fait également l’objet de recherches [3] intensives menées en informatique graphique, qui ont permis de faire remonter cette archive de l’Institut National de l’Audiovisuel (en ligne).

Les travaux de W. Tobler, auxquels nous faisons référence ici, portent sur le traitement des flux, leur modélisation, mais également sur de nombreux aspects de leur représentation cartographique (Tobler, 1979, 1981). Si J. Bertin ne référence pas particulièrement les siens, W. Tobler emprunte nombre de concepts et de notions à différentes disciplines, contribuant ainsi à renouveler profondément les aspects conceptuels et méthodologiques d’une analyse spatiale des flux. La variété de ses travaux réalisés: articles, communications et notes méthodologiques est disponible sous une forme publiée ou sur la page internet de leur auteur (en ligne). Parmi les quatre volumes de textes (Cauvin et al., 2000) qui recensent ses recherches de la période 1959 et 2000, l’un d’entre eux est composé de 34 références qui intéressent directement la cartographie de flux.

J. Bertin et W. R. Tobler ont ainsi en commun une réflexion méthodologique sur la cartographie de flux. Si les travaux du premier sont davantage focalisés sur les aspects graphiques et cognitifs, ceux du second approfondissent les aspects statistiques, mathématiques et conceptuels, sans négliger les aspects sémiologiques. Leur utilisation conjointe permet donc de confronter simultanément aspects mathématiques, sémiologiques et cognitifs de la construction cartographique du flux. Aussi pouvons-nous considérer qu’ils sont à l’origine de la pratique actuelle de la cartographie de flux, que nous qualifions d’approche classique.

Le point de départ de l’étape de cartographie statistique correspond toujours à la préparation des données statistiques (le tableau) et cartographiques (le fond de carte). Comme annoncé en introduction, nous supposons que les flux résultent éventuellement d’un traitement des données réalisé en amont et que les fonds de cartes ont été, eux aussi, préparés par ailleurs. Cela nous permet de focaliser notre attention sur la valeur, notée (Fij), portée au croisement des (i) lignes et des (j) colonnes d’une matrice de flux et sa représentation sur la carte. Celle-ci n’étant jamais quelconque, nous allons maintenant la présenter.

L’objet d’étude: la matrice de flux (Fij)

La valeur (Fij) portée au croisement des (1,…, i,… k) lignes et des (1,…, j,… p) colonnes d’une matrice est un stock, une donnée discrète qui traduit le transfert d’une quantité mesurable (F) entre des lieux d’origine (i) et de destination (j). Nous considérons un exemple simple, une matrice de rang 4. Celle-ci est carrée, ce qui signifie que le nombre (N) de lignes et de colonnes est identique; elle est aussi fermée: les lieux d’origine correspondent aux lieux de destination. Sa diagonale principale est vide de sorte que seuls les flux ayant franchi une limite de zone entre (i) et (j) nous intéressent. Ces zones s’inscrivent dans un espace géographique formé des (N) lieux, que nous allons considérer selon une implantation ponctuelle. Nous disposons ainsi des données suivantes (figure 1).

1. Présentation de la matrice de données observées (Fij) et de sa cartographie

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La matrice étant de type Origine-Destination (OD), elle décrit un flux immatériel: le cheminement exact entre les lieux n’est – par définition – pas connu. La valeur du flux résultant, en effet, d’une double procédure d’agrégation, elle décrit une relation valuée directe entre les couples de lieux. Cela a pour conséquence cartographique que ces flux seront représentés par des figurés rectilinéaires, éventuellement curvilinéaires pour des raisons esthétiques, ce qui revient à peu près au même [4]. La partie droite de la figure 1 illustre la transformation des valeurs de la matrice en lignes et en points, ensuite projetés sur un espace géographique, elle correspond formellement à une carte de flux: chacune des valeurs de la matrice est transformée en lien orienté, une flèche et, puisque la matrice est asymétrique, deux flèches dont la largeur est proportionnelle à la valeur du flux sont tracées entre chacun des couples de lieux (la matrice est complète). La figure 1 est ainsi composée de 12 figurés linéaires [4*(4-1)] reliant les 4 lieux.

Le résultat obtenu par cette représentation directe n’étant pas toujours satisfaisant (Bahoken, 2015), les données font souvent l’objet d’un traitement plus ou moins sophistiqué en amont de leur cartographie. W. R. Tobler suggère, par exemple, de décomposer ces matrices, pour les raisons suivantes. Les processus de mobilités spatialisées étant intrinsèquement dynamiques, dans un espace et sur la période considérée, une partie du système de flux est par définition en mouvement et l’autre non. De ce fait, cartographier sur la même figure (figure 1) les informations qui portent sur la dynamique du système et celles qui concernent sa stabilité conduit à cet effet d’amalgame. Pour y remédier, ainsi qu’à l’effet spaghetti, une solution populaire consiste à modéliser les flux pour en extraire leurs motifs explicatifs. Avant cela, il nous semble également judicieux de décrire les motifs de ces mêmes flux, en adoptant l’approche suggérée par W. R. Tobler de décomposition de l’information de flux au préalable de sa cartographie.

La décomposition de la matrice de flux d’après W. R. Tobler

L’approche suggérée par W. R. Tobler est matricielle. L’auteur la distingue de l’approche probabiliste, notamment fondée sur l’analyse des fréquences, car il emprunte à la théorie matricielle mathématique — et non à la statistique — des notions et des concepts qu’il transfère ensuite à l’analyse géographique des flux.

À la fin des années 1970, l’auteur est en effet en train de résoudre «[…] un problème pragmatique d’aménagement par une solution théorique très générale et très astucieuse […]» (Cauvin, Reymond, 1991, p. 468) qui consiste à inverser le modèle gravitaire, c’est-à-dire à retrouver les valeurs de flux (Fij) entre les lieux, à partir d’une matrice des distances (Dij) entre les lieux et des sommes marginales (Oi, Dj) de la matrice. W. R. Tobler en arrive alors à décomposer mathématiquement le cœur de la matrice en deux sous-composantes élémentaires, en s’appuyant sur les principes du traitement matriciel et sur la propriété générale de symétrie de la matrice.

L’auteur démontre que la meilleure façon de cartographier des flux est de représenter des champs de vecteurs calculés sur ce qu’il nomme «la composante négative des flux» notée (Fij-) et inversement, sur «la composante positive des flux» notée (Fij+). (Fij+) et (Fij-) correspondent à deux parties complémentaires de la matrice, et leur somme forme l’ensemble. Cette réflexion sur (Fij+) et (Fij-) s’inscrit en fait dans un courant de recherche plus important sur la synergétique [5] qui analyse la dynamique des systèmes et leur stabilité. C’est pourquoi W. Tobler poursuit cette idée générale en proposant de distinguer ce qui relève de la dynamique du système de flux, le (Fij-), c’est-à-dire du changement dans l’espace géographique représenté par un flux, de ce qui concerne l’ossature du système, le (Fij+), sa stabilité. Les matrices de flux asymétriques (Fij) correspondent, en effet, à «[…] ces tables [qui] peuvent être décomposées en deux parties, une partie symétrique et une partie antisymétrique. Pour les statisticiens de l’auditoire, la variance totale peut également être divisée en ces deux parties» (Tobler, 1979, 1982).

(Fij+) et (Fij-) correspondent donc à deux nouvelles matrices qui sont issues d’une même matrice (Fij) initiale. Leur construction est présentée sur la figure 2.

2. La construction des quatre principaux types de matrices de flux

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À ces différentes matrices, nous ajouterons une matrice de liens (Lij), qui correspond formellement à la dégradation de la matrice valuée (Fij) en matrice d’adjacence ou de connexité, car elle offre des possibilités d’analyses complémentaires intéressantes dans le champ de la Théorie des graphes.

Chacune des matrices de la figure 2 contient une information particulière pouvant faire l’objet de traitements ultérieurs, à visée explicative ou prédictive, ou d’une cartographie directe. La généralisation de ce résultat nous place devant au moins cinq matrices, que nous proposons de regrouper en deux catégories: celle des matrices de flux simples: (Fij) (Fji) (Fij+) et (Fij-) et celle des matrices de flux complexes (non représentées sur la figure 2). Elles sont définies de la manière suivante, en fonction du type de données, au regard de la propriété générale de symétrie de la matrice par rapport à la diagonale principale.

À ces familles de matrices de flux correspondent autant de familles de méthodes de cartographie que nous présentons dans la section suivante.

Typologie des méthodes de cartographie des matrices de flux

Quel que soit le raisonnement qui a permis de les générer, les matrices de flux se distinguent toujours en fonction de leur caractère symétrique ou non par rapport à la diagonale principale, c’est-à-dire selon qu’elles sont asymétriques (Fij), symétriques (Fij)=(Fji)=(Fij+) ou antisymétriques (Fij)= -(Fji) = (Fij-). À chacune de ces familles correspond, sur le plan sémiologique, une et une seule méthode de cartographie. La figure 2 peut dès lors être vue en fonction du type de carte de flux correspondant à chaque famille de matrices Ces trois méthodes mobilisent quatre figurés distincts et non directement substituables, pour une représentation convenable des flux, du point de vue des liens. C’est cette combinaison type de matrice – procédé de représentation qui forme la typologie que nous proposons, elle est présentée sur la figure 3.

3. Typologie des méthodes de cartographie associée à chacun des types des matrices de flux

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Pour illustrer la mise en œuvre de cette typologie, nous l’appliquons à la matrice des flux interdistricts de l’ex-Tchécoslovaquie (1990) présentée dans Bahoken (2015), afin que les résultats puissent être comparés visuellement.

La cartographie des matrices de flux asymétriques (Fij), l’exemple des valeurs observées

La cartographie des matrices de flux asymétriques (Fij) correspond au cas le plus fréquent de représentation des données observées. La figure 4 en propose un exemple.

4. Cartographie des matrices de flux asymétriques (Fij), l’exemple des flux interdistricts de l’ex-Tchécoslovaquie

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Sur le plan sémiologique, les flux de la figure 4 sont représentés à l’aide d’un figuré orienté, en l’occurrence une flèche. Elles ont aussi fait l’objet d’une sélection et d’un regroupement en cinq classes de valeurs afin de garantir la lisibilité de la figure et de réduire l’hétérogénéité de taille des liens. Ainsi, à chaque classe de valeur correspond une classe de taille de figures et une nuance de teinte. Sur le plan théorique, le problème de ces cartes réalisées à partir des données initiales (Fij) est qu’elles comparent la valeur de l’ensemble de l’information, générant l’effet d’amalgame déjà mentionné, d’où l’intérêt d’analyser une version décomposée de ces données.

La cartographie des matrices de flux symétriques (Fij+), l’exemple des volumes bilatéraux

La cartographie des matrices de flux symétriques correspond à celle du volume bilatéral de flux (Fij+), un indicateur qui mérite d’être représenté selon une approche liens-lieux, c’est-à-dire du point de vue des liens valués (Fij+Fji) et du point de vue des lieux (Oi+Dj). Le résultat conduit à une carte de type volume-volume, dont la version de l’ex-Tchécoslovaquie (1990) est présentée sur la figure 5.

5. Cartographie des matrices de flux symétriques (Fij+), l’exemple du volume bilatéral des flux

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La cartographie naturelle du volume bilatéral est formée par un ensemble de doubles flèches, qui illustrent la même information et sont de ce fait identiques, puisque les valeurs sont identiques de part et d’autre de la diagonale principale (voir figure 2). Elles sont donc redondantes puisque deux flèches de même valeur - donc de même largeur - relient le même couple de lieux. Étant donné que la même quantité d’information est échangée entre les couples de lieux, la donnée correspondante n’est pas orientée. Il n’est par conséquent pas nécessaire de conserver cette double-flèche ni d’ailleurs la flèche. C’est pourquoi le figuré qui convient à la représentation des volume-volume, plus généralement à la cartographie des matrices symétriques est la bande proportionnelle.

Ainsi, ce que l’observateur est censé percevoir instantanément, c’est bien une variation de la taille des largeurs de bandes qui correspond aux différentes valeurs de flux, et non celle de leur longueur puisque le trait est droit, ni de leur hauteur, la figure étant réalisée en deux dimensions. L’application de la variable visuelle taille, en cartographie de flux, correspondant bien à une variation de la seule largeur des bandes. La mise en œuvre de leur surface (issue du produit largeur x longueur) proportionnellement à leur valeur étant intenable en raison de la contrainte spatiale de position des lieux.

La figure 5 illustre les représentations complémentaires (liens-lieux) du volume de flux par la représentation proportionnelle des figurés correspondant: la bande et le cercle. Elle donne une bonne idée de la structure des échanges et de la hiérarchie des lieux. Sur le plan sémiologique et plus généralement méthodologique, l’intérêt de cette représentation est l’économie liée à l’absence de flèches qui illustrent l’orientation du déplacement, ainsi qu’au volume de données moins important à manipuler. Il ne convient toutefois qu’aux matrices symétriques. Dans le cas contraire, souvent rencontré en pratique, il est plus intéressant de réaliser une carte du bilan des échanges de type solde-solde: elle correspond au cas des matrices antisymétriques.

La cartographie des matrices de flux antisymétriques (Fij-), l’exemple des transferts nets bilatéraux

Les matrices de flux antisymétriques (Fij-) sont plus difficiles à manier que celles qui sont symétriques (Fij+), car l’orientation du flux a une signification qui diffère de celle des matrices asymétriques (Fij). Le (Fij-) résulte en effet d’une opération réalisée entre (Fij) et sa transposée (Fji). Sa formulation est, de fait, susceptible de varier en fonction de la signification de (i) et de (j) (figure 2).

La formule de calcul de (Fij-) au niveau des liens n’est pas sans importance, car elle est susceptible de modifier l’apparence et l’interprétation de la carte thématique correspondante (Bahoken, 2014). En fonction de la formulation, les flèches correspondantes n’auront donc pas le même sens et cette précision n’est pas négligeable lorsque les lieux d’origine diffèrent de ceux de destination (dans le cas de navettes par exemple où l’origine correspond au lieu de résidence et la destination au lieu de travail). Aussi faisons-nous le choix de Sij=(Fij-Fji) qui correspond au solde bilatéral de flux ou transfert net bilatéral entre les couples de lieux; au solde des flux observé depuis les lieux.

Sur le plan sémiologique, la cartographie de (Fij-) diffère également de celle de (Fij+). La spécificité des valeurs, symétriquement similaires, mais de signes opposés nécessite de prendre en compte le changement d’orientation du flux, en le représentant par un figuré orienté, une flèche par exemple, comme dans le cas de (Fij).

Cependant, à la différence des données brutes (Fij) où les valeurs situées de part et d’autre de la diagonale principale renseignent sur des informations différentes, les valeurs de (Fij-) présentent la même information à l’exception près des cas où elle est nulle (Fij-)=0, ce qui correspond à des valeurs de transferts nets de flux équilibrés. Du point de vue des lieux, cette différence entre les valeurs de flux entrants et sortants correspond à la variation de leur population; elle décrit, selon le point de vue, un flux de créances ou de dettes. Cette variation de la signification de la carte explique la présence d’une flèche pour distinguer les lieux, ceux qui perdent de ceux qui gagnent.

Plusieurs possibilités sont dès lors envisageables pour cartographier (Fij-). La première d’entre elles consiste à représenter l’ensemble des valeurs de la matrice sur la même carte, à l’instar de la cartographie de la matrice (Fij) (figure 2).

Le résultat entraîne deux problèmes: il produit une confusion dans la caractérisation des lieux émetteurs et récepteurs et le bilan net des flux aux lieux ne peut être représenté, car les valeurs de (Oi) et de (Dj) s’annulent. On observe aussi une démultiplication du nombre de figurés qui présentent des orientations opposées, pour des tailles identiques puisqu’il s’agit de la représentation de la même information.

Pour remédier à ces deux problèmes liés à la prise en compte du caractère antisymétrique des flux, une variante efficace bien connue consiste à simplifier la figure en réalisant une seule carte à partir d’une sélection des seules valeurs positives (ou des créances) ou des seules valeurs négatives (ou des dettes).

La cartographie du solde bilatéral de flux

La cartographie du solde bilatéral réalisée sur une partie des valeurs élude les valeurs nulles (Fij-)=0. Elle segmente aussi la matrice en deux parties similaires d’orientations opposées. Étant donné que le choix de l’une ou de l’autre carte est intimement lié à la thématique (en pratique, il n’est pas question de réaliser deux cartes), le choix de représenter les valeurs positives ou les valeurs négatives doit en tenir compte.

La figure 6 décrit les valeurs négatives des transferts nets bilatéraux (Fij-)<0.

6. Cartographie des matrices de flux antisymétriques (Fij-), l’exemple des transferts nets interdistricts de l’ex-Tchécoslovaquie (1990)

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La figure 6 présente différentes manières de représenter l’information: la version classique réalisée avec les seules flèches, la représentation du bilan net des flux aux lieux ou le bilan net bilatéral, par bandes plutôt que par flèches. La présence de flèches n’étant pas nécessaire lorsque le bilan des flux est représenté au niveau des lieux: ces derniers indiquant le sens du transfert et son importance, par la taille variable des symboles proportionnels aux lieux, qui est équivalente à la somme des largeurs des bandes entrantes ou sortantes, selon les cas. À noter que cette figure propose aussi la représentation des valeurs positives (Fij-)>0, les deux cartes sont en réalité identiques, à la différence près de l’orientation du flux et de la caractérisation des lieux (gagnants, lorsque leur bilan est positif, ou perdants).

Sur le plan sémiologique, cette représentation distincte de (Fij-)<0 sur une seule carte permet d’alléger considérablement la carte et de distinguer les processus d’immigration et d’émigration (réception et émission), mais également de ne pas recourir à la flèche. L’information sur la structure des échanges et sur leur orientation n’en est pas moins riche car elle est complétée par la présence des cercles proportionnels aux bilans aux lieux.

Le choix de l’une (Fij-)<0 ou l’autre carte de (Fij-))>0 est nécessaire lorsque les lieux d’origine diffèrent des lieux de destination, comme dans le cas des navettes (domicile x travail) ou de flux commerciaux (importateur x exportateur). Il dépend de la problématique sous-jacente à l’élaboration de la carte, du besoin d’analyser l’émission ou la réception de flux. W. R. Tobler (n.d.) [7] a suggéré de représenter le transfert net bilatéral sur une seule carte, à l’aide de bandes, en recourant à la matrice des valeurs absolues |(Fij-)|. Cependant, cette suggestion ainsi formulée pose un problème particulier qui est insolvable a priori car l’orientation des flux est dès lors perdue, l’auteur ne représentant pas le bilan net du point de vue des lieux.

L’idée n’est toutefois pas dénuée de sens, sous réserve que le raisonnement soit également mené au niveau sémiologique, afin d’intégrer dans la cartographie de ces flux, d’une part, leur orientation et, d’autre part, la hiérarchie des lieux.

Proposition de variante à la cartographie du solde bilatéral de flux, sur une carte unique

Une manière simple de représenter le solde bilatéral sur une carte unique consiste à compléter la suggestion de W. R. Tobler de représenter la valeur absolue du transfert net (|Fij-|>0), en y ajoutant celle du bilan net aux lieux. Du point de vue des lieux, les symboles seront alors proportionnels et assortis d’une coloration discrétisée, en fonction de la polarité du bilan. La figure 7 illustre cette suggestion pour les flux de l’ex-Tchécoslovaquie (1990). L’intérêt de cette proposition est de ne réaliser qu’une seule carte sans arbitrage (ou choix des valeurs positives ou négatives) tout en conservant la perception de l’orientation du transfert net bilatéral et local. En effet, pour deux lieux quelconques, on voit bien sur la figure 7 que les valeurs de flux fortes (illustrées par de gros liens) impliquent des lieux qui gagnent ou qui perdent fortement soit parce qu’ils reçoivent de nombreux petits flux, soit parce qu’ils reçoivent peu de flux, mais qui présentent des valeurs importantes. La différence étant imputable à la longueur des liens, c’est-à-dire à une acception de la distance parcourue par le flux.

7. Proposition de cartographie du transfert net positif |(Fij-)| > 0 des flux de l’ex-Tchécoslovaquie

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Sur le plan sémiologique, la représentation distincte des transferts nets positifs et négatifs permet d’alléger considérablement la figure et de ne pas nécessairement recourir au procédé de la flèche, les liens n’étant plus orientés. L’information sur la structure de ces échanges et sur leur orientation n’est pas éludée par ce recours à la bande puisque l’on devine bien l’orientation des flux vers les gagnants (ou les perdants), grâce au rendu de l’effet de convergence des liens au niveau des lieux, ainsi que par la représentation de leur attractivité.

La proposition de W. R. Tobler de décomposer la matrice initiale a donc une conséquence forte, puisqu’elle conduit in fine à réaliser deux cartes à partir d’une même matrice de données observées, chacune d’elle illustrant une partie de l’information disponible dans la matrice complète. Si la cartographie du volume bilatéral (Fij+) ne pose pas de problème particulier, celle du solde bilatéral (Fij-) positif ou négatif a pu être controversée et cela outre le fait qu’il faille arbitrer entre les valeurs. Certains auteurs ont, en effet, suggéré d’analyser plutôt un indicateur de l’asymétrie des flux qui intègre le volume et le solde de flux bilatéraux. Si l’explication avancée par ces détracteurs du solde est avant tout théorique [8], elle peut conduire à une quatrième famille de méthode de cartographie, qui correspond au cas des matrices complexes.

La cartographie des matrices de flux complexes (Fij-)

Nous illustrons le cas des matrices de flux complexes en prenant l’exemple de l’indicateur d’asymétrie des flux de l’ex-Tchécoslovaquie (1990) formulé comme le rapport du solde sur le volume de flux aux lieux (Dj/Oi). La version classique de la représentation de l’asymétrie des flux, telle que présentée par M. Baron et al. (2008), appréhende en effet l’asymétrie comme une variante de la carte des volumes (elle est alors de type volume-volume-asymétrie) pour décrire l’attractivité des lieux.

Cette matrice d’asymétrie des flux se calcule comme suit (figure 8).

8. La construction d’une matrice de flux complexe, l’exemple de l’asymétrie

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La figure 9 représente la cartographie de l’asymétrie des flux de l’ex-Tchécoslovaquie (1990), elle est issue de la combinaison des figurés présentés sur la figure 3.

9. La cartographie d’une matrice de flux complexe, l’exemple de l’asymétrie

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C’est probablement pour éviter de réaliser deux cartes de l’asymétrie des flux – comme pour les transferts nets –, que cet indicateur est, en pratique, appréhendé comme une variante de la carte du volume-volume; sa mise en œuvre pour les soldes consistant une variante intéressante, non mise en œuvre dans le cadre de l’approche classique en raison de sa complexité.

Cela étant, le choix de considérer que la cartographie de l’asymétrie est une variante plus complexe de celle des volumes est effectivement judicieux: la figure 10 met bien en évidence les relations asymétriques où certains lieux émettent beaucoup plus qu’ils ne reçoivent et inversement, dans le cas de l’ex-Tchécoslovaquie de 1990. De ce fait, elle suggère un système migratoire régional et fortement polarisé en certains lieux qui correspondent aux anciennes capitales des trois républiques historiques.

10. Cartographie des matrices complexes, l’exemple de l’asymétrie des flux de l’ex-Tchécoslovaquie (1990)

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Il est intéressant de noter que l’asymétrie est négative pour les capitales des régions de l’ex-Moravie-Silésie et positive pour celles des anciennes républiques tchèques et slovaques. La perception de ce processus est renforcée par les choix sémiologiques réalisés, en l’occurrence par la coloration discrétisée des symboles proportionnels en six classes de valeurs opposées, en application du principe de l’opposition colorée associé à la variable visuelle Couleur, pour représenter les séries divergentes.

Le premier avantage – et non le moindre – d’une telle représentation de l’asymétrie des flux est d’intégrer les informations qui portent à la fois sur la stabilité et sur la dynamique du système sur la même carte: la figure 10 traduit efficacement une forme d’attractivité des lieux, en même temps qu’elle décrit le bilan net local. Si l’on compare cette carte avec les figures 5 et 6 ou 7, correspondant respectivement au volume et au solde bilatéral, on observe que la figure 10 combine efficacement la distribution des valeurs positives et négatives des transferts nets bilatéraux. Sur le plan sémiologique, la carte est aussi plus riche que les précédentes, car elle mobilise trois composantes: des bandes proportionnelles aux volumes bilatéraux des flux; des cercles proportionnels aux volumes des flux observés du point de vue des lieux et une coloration discrétisée pour illustrer l’asymétrie des flux, un indicateur intégrant le solde bilatéral.

Cependant, d’après D. Thomas (1941), l’asymétrie ne serait pas tant un indicateur démographique qu’une mesure du caractère unidirectionnel de la migration entre des zones géographiques. Parce qu’elle traduirait la redistribution de la population entre les zones, il serait intéressant d’envisager de l’interpréter comme une variante de la cartographie des transferts nets: le volume bilatéral traduisant, en réalité, la stabilité du système. Il faudrait alors soit réaliser deux cartes (l’une pour les valeurs positives du transfert net et l’autre pour les valeurs négatives), ce qui introduit une difficulté supplémentaire qui justifie probablement son éviction des méthodes de cartographie de flux envisageables, dans le cadre de l’approche classique; soit recourir aux nouvelles méthodes de représentation cartographique des flux qui sont rendues possibles grâce au développement de l’informatique graphique. Certaines d’entre elles étant susceptibles de renouveler l’image des flux (Bahoken, 2014, p. 116-120).

Conclusion

La proposition de W. R. Tobler de décomposer la matrice de flux (Fij) initiale en deux composantes complémentaires permet de cartographier de manière distincte les volumes bilatéraux des flux (Fij+) et/ou les transferts nets (Fij-): les premiers correspondent à la stabilité du système et les seconds à sa dynamique; éventuellement un indicateur de leur asymétrie fondé sur la combinaison de ces deux informations. Ces composantes correspondent en réalité à de nouvelles matrices qui, de par leur structure, appartiennent également à des familles de méthodes de cartographie des flux.

Les méthodes présentées utilisent naturellement les marges de la matrice (Oi, Dj). En fonction de l’objectif de la carte, ces marges peuvent être substituées à des données exogènes, ou pondérées. Pour les flux migratoires, par exemple, les populations des lieux d’origine et/ou de destination (Pi, Pj) peuvent remplacer les sommes marginales. Il convient toutefois de garder en mémoire que l’utilisation de critères liés à la taille des lieux est sensible aux effets de représentativité spatiale et au découpage géographique utilisé lors de la mesure (Courgeau, 1980, p. 135-136).

Enfin, ces résultats nous conduisent à la conclusion selon laquelle notre parti pris cartographique, fondé sur l’approche liens-lieux et sur la décomposition de la matrice, contribue à améliorer la connaissance thématique des flux concernés: la hiérarchie des lieux qui en résulte pouvant toujours être interprétée pour différentes catégories de flux, en fonction de leur thématique (commerciaux, financiers ou migratoires). Si les cartes présentées sont efficaces, c’est parce qu’elles ne portent que sur une partie des données disponibles dans la matrice de flux, les valeurs ayant fait l’objet d’une sélection drastique. Sur le plan cartographique, nous avons privilégié la perception des figurés les plus gros – qui correspondent aux flux qui présentent les valeurs les plus importantes –, mais aussi les plus courts, c’est-à-dire ceux qui parcourent les distances les moins importantes, afin de limiter les différentes composantes de l’effet spaghetti (Bahoken, 2015). Ces cartes ont donc potentiellement éludé une partie non négligeable de la réalité des motifs spatiaux de cette matrice de flux, dans le seul objectif de garantir la lisibilité de la figure. L’une des questions qui se pose dès lors est celle de savoir comment on s’assure que la part d’information de flux ainsi sélectionnée, celle que l’on perçoit sur la carte, est bien significative de l’information disponible dans la matrice.

Remerciements

L’auteur souhaite vivement remercier Claude Grasland pour l’accès aux données de l’ex-Tchécoslovaquie et aux recueils de textes de W. R. Tobler, ainsi que Christine Zanin pour les discussions qui ont notamment permis d’aboutir à cette typologie.

Bibliographie

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TOBLER , W. R. (1982). «Cartographic study of movement tables». Presentation in the National Computer Graphic Assembly - session on Statistical Graphics – Mapping. Anaheim, 17-06-1982.

THOMAS D. S. (1941). Social and Economic Aspects of Swedish Population Movements : 1750-1933. New-York: Macmillan Reference, 487 p.

La liste des documents de J. Bertin disponibles à la BnF sont accessibles sur le site data, aux adresses suivantes: http://data.bnf.fr/11985023/jacques_bertin/ et http://data.bnf.fr/documents-by-rdt/11985023/70/page1 et, en particulier, dans les pages de l’atelier expérimental dédiées à l’auteur, disponibles sur ce même site. [liens vérifiés le 02/08/2015].
La page http://cartographie.sciences-po.fr/en/la_graphique_jacques_bertin2 du site de l’Atelier de cartographie de Sciences Po a été réalisée avec la collaboration de l’auteur [lien vérifié le 02/08/2015]
Ces travaux, qui introduisent d’ailleurs le terme «bertifier» à propos des traitements matriciels de J. Bertin, peuvent être consultés sur un site dédié à l’adresse suivante: http://www.bertifier.com/ [lien vérifié le 02/08/2015].
En toute rigueur, le fait que le tracé soit linéaire ou non ne revient pas du tout au même, mais ce n’est pas le sujet ici. Ces traits droits traduisent une acception euclidienne de la distance parcourue (la représentation du trajet direct réalisé à vol d’oiseau).
La synergétique est un champ de recherche développé à Stuttgart, qui fournit un cadre théorique et méthodologique d’analyse de la dynamique de systèmes complexes, en particulier de modélisation de leur évolution. Les travaux qui y sont développés visent en particulier à simuler l’évolution de peuplements d’individus en agrégats, en accordant un rôle important à la stabilité du système analysé, sans pour autant en négliger la dynamique.
Le recours à la matrice transposée est fondamental sur le plan thématique, lorsque les lieux d’origine diffèrent des lieux de destination. C’est le cas, par exemple, de flux commerciaux où (Fij) pourrait correspondre aux exportations et (Fji) aux importations; aussi aux navettes domicile-travail où l’origine correspond au lieu de résidence et la destination au lieu de travail.
Toutes ces notes de recherches de W. R. Tobler non datées sont disponibles dans les recueils de textes réunis par C. Cauvin et C. Grasland, avec la collaboration de R. Schlumberger (Publications 1959-2000) et sinon, sur le site de l’auteur.
A. Rogers (1990), dans un texte qui prend la forme d’un plaidoyer pour la notion de migrant net, souligne la déficience de la migration nette pour analyser des mobilités. L’auteur liste pour cela différents problèmes qui découlent de son utilisation, parmi lesquels le fait que la représentation masque les gros flux, en valeur absolue. Son utilisation serait alors préjudiciable à leur modélisation puisque ses fondements théoriques sont inadaptés. D’après l’auteur, c’est comme s’il existait une corrélation entre le flux entrant et le flux sortant de chaque zone (Rogers, 1990, p. 283-299), ce qui n’est pas nécessairement le cas. C’est pourquoi il suggère de représenter soit le volume bilatéral (Rogers, 1990, p. 299), soit un indicateur de l’asymétrie des flux.