L’obtention des valeurs d’appartenance se fait par deuxméthodes:

- Méthode 1: dite « globale », elle mesure la relation de chaque municipe avec tous les autres municipes d’Andalousie;

- Méthode 2 : elle mesure la relation de chaque municipe avec un centre potentiel.

Notation: elle est ici présentée pour le cas de la mobilité domicile-travail. Elle est analogue pour la mobilité résidentielle.

Données en entrée:

• M = { M1, M2, ... Mn } ensemble des municipes
• T = [ Tij ], avec 1 ≤ i, j ≤ n, matrice des flux de travailleurs, où Tij représente le total de résidents en Mi employés en Mj
• R = [ R1, R2,... Rn ] le nombre de travailleurs résidents par municipe, avec Ri = ∑j=1..nTij
• E = [ E1, E2,... En ] le nombre d’emplois dans chaque municipe, avec Ei = ∑j=1..nTji

Données en sortie:

• G = [ G1, G2,... Gn ] vecteur des degrés d’appartenance de chaque municipe Mi à l’aire métropolitaine, avec Gi E[0,1].

Méthode 1: Globale

Pour chaque municipe Mi, on prend en compte la proportion p1 finale (i) de travailleurs résidents dans le municipe Mi avec un emploi hors de ce municipe, et la proportion p2 finale (i) d’emplois occupés dans lemunicipe Mi par des non-résidents du municipe, en relation avec le nombre total d’emplois existants en Mi.

On arrive à:

• p1 finale(i)=(R(i)-T(i,i))/R(i)
• p2 finale(i)=(E(i)-T(i,i))/E(i)

Méthode 2  Relation avec un centre potentiel (cp)

Pour chaque municipe Mi, on prend en compte la proportion p1(i,j) de travailleurs résidents en Mi et occupant un emploi dans une centre potentiel Mj par rapport au nombre total de résidents de Mi ayant un emploi, et avec la proportion dp2(i,j) d’emplois en Mi occupés par des résidents du centre potentiel rapportée au nombre total d’emplois de Mi.

On arrive à:

• p1(i,j)=T(i,j)/R(i)p2(i,j)=T(j,i)/E(i)

Pour les deux méthodes nous avons pris en compte les rapports de proportion évoqués ainsi qu’un opérateur flou « FG » (Mlynski, 2003). Cet opérateur a pour fonction de quantifier chaque proportion supérieure à 20 %, seuil fixé comme standard. Sur le graphique on voit une représentation booléenne de l’appartenance (en rouge). Si le municipe est en-dessous du seuil il estconsidéré comme en dehors de l’unité (valeur assignée: zéro) et s’il est au-dessus il en fait partie (valeur un). En bleu, on voit comment l’opérateur flou, qui calcule dans quelle mesure une valeur est éloignée du seuil, assigne des valeurs d’appartenance variant entre zéro et un.

L’opérateur flou FG (“fuzzy greater”)

Pour deux valeurs réelles x, z, l’opérateur (FG) fonctionne ainsi:
FG(x, z, m)=(tanh ((x-z)*m)+1)/2, où tanh est la fonction tangente hyperbolique (à laquelle peut être substituée toute autre fonction sigmoïde) et m le paramètre qui définit la précision de l’opérateur.

Application des opérateurs flous à la proportionnalité et combinaison

Soit b=20 % le seuil choisi dans la méthode booléenne pour sélectionner les municipes appartenant à une aire métropolitaine (s’ils dépassent ce seuil) et b2=1 000 le seuil permettant de discriminer les municipes en fonction du nombre de travailleurs résidents ainsi que le nombre d’emplois existants par municipe.

On considère les valeurs pondérées pour les deux méthodes:

Méthode 1:

• ta_SFCsortiefinale_w(i)=w1*FG(p1finale(i),b,m)+w2*FG(R(i), b2, m2);
• ta_SFCentréefinale_w(i)=w1*FG(p2finale(i),b,m)+w2*FG(E(i), b2, m2);
• Gi:=ta_SFCréciproquefinale_w(i)=(ta_SFCentréefinale_w(i)+ta_SFCsortiefinale_w(i))/2;

Méthode 2:

• SFCsortie(i,j)=w1*FG(p1(i,j),b,m)+w2*FG(T(i,j), b2,m2);
• SFCentrée(i,j)=w1*FG(p2(i,j),b,m)+w2*FG(T(j,i),b2, m2);
• Gi:=SFCréciproque(i,j)=(SFCentrée(i,j)+SFCsortie(i,j))/2; où w1 est le poids associé à la mobilité et w2 le poids associé à la taille, avec w1, w2 E[0,1] et  w1+ w2=1.